Гарманічныя ваганні

Графікі функцый Шаблон:Math і Шаблон:Math на дэкартавай плоскасці.

Гармані́чныя вага́нні — ваганні, пры якіх функцыя стану сістэмы змяняецца з часам наступным чынам:

$x=A\sin (\omega t+{\varphi }_0),$

дзе Шаблон:Math — амплітуда ваганняў, $\omega$ — вуглавая частата, ${\varphi }_0$ — пачатковая фаза (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу Шаблон:Math).

Скорасць і паскарэнне матэрыяльнага пункта, які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя

$v=\frac{dx}{dt}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0),$

$a=\frac{dv}{dt}=-A{\omega }^2\sin (\omega t+{\phi }_0).$

З апошняй роўнасці вынікае дыферэнцыяльнае ўраўненне гарманічнага вагання:

$a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-A{\omega }^2\sin (\omega t+{\phi }_0)=-{\omega }^{2}x$

або

${\omega }^{2}x+\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0.$

Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыянальна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна другому закону Ньютана, гэта магчыма, калі на яго дзейнічае сіла, велічыня якой вызначаецца формулай:

$F=-kx,$

дзе Шаблон:Math — каэфіцыент прапарцыянальнасці. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.

Вуглавая частата ваганняў складае

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}.$

Яна, такім чынам, цалкам вызначаецца параметрамі сістэмы, што вагаецца, і не залежыць ад амплітуды ваганняў.

Прыклады сістэм, у якіх адбываюцца механічныя гарманічныя ваганні:

• цела на пружыне
• матэматычны маятнік
• фізічны маятнік

Прыкладам сістэмы, у якой здзяйсняюцца электрычныя гарманічныя ваганні, з'яўляецца вагальны контур.

Гл. таксама

• Гарманічны асцылятар
• Гарманічны рад гукаў
• Матэматычны маятнік
• Фізічны маятнік
• Псеўдагарманічныя ваганні

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 63.