Дыферэнцыял функцыі

Шаблон:Значэнні Дыферэнцыя́лШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-la — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

Гісторыя

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова $dx$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні

Звычайна дыферэнцыял функцыі $f$ пазначаецца $df$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню $\mathrm{d}f$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы $x_0$ пазначаецца $d_{x_0}f$, а часам $df[x_0]$, а таксама $df$, калі значэнне $x_0$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы $x_0$ ад $h$ можа пазначацца як $d_{x_0}f(h)$, а часам $df[x_0](h)$, а таксама $df(h)$, калі значэнне $x_0$ ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла $\int f(x)dx$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял $dx$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай $f^{\prime }(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі $f$ і аналагічнай функцыі $x$ верныя суадносіны
• :$d_{x_0}f=f^{\prime }(x_0)\cdot d_{x_0}x.$

Вызначэнне

Для функцый

Дыферэнцыял функцыі $f:ℝ\to ℝ$ у кропцы $x_0\in ℝ$ можа быць вызначаны як лінейная функцыя

$d_{x_0}f(h)=f^{\prime }(x_0)h,$

дзе $f^{\prime }(x_0)$ абазначае вытворную $f$ у кропцы $x_0$.

Такім чынам $df$ ёсць функцыя двух аргументаў $df:(x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)$.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя $d_{x_0}f(h)$, якая лінейна залежыць ад $h$, і для якой верныя наступныя суадносіны

$d_{x_0}f(h)=f(x_0+h)-f(x_0)+o(|h|).$

Для адлюстраванняў

Дыферэнцыялам адлюстравання $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ у кропцы $x_0\in {ℝ}^n$ называюць лінейны аператар $d_{x_0}f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ такі, што выконваецца ўмова

$d_{x_0}f(h)=f(x_0+h)-f(x_0)+o(|h|).$

Звязаныя вызначэння

• Адлюстраванне $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ называецца дыферэнцуемым у кропцы $x_0\in {ℝ}^n$ калі вызначаны дыферэнцыял$d_{x_0}f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$.

Уласцівасці

• Матрыца лінейнага аператара $d_{x_0}f$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі $f$ звязаны з яе градыентам $\mathrm{\nabla }f$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

$d_{x_0}f(h)=⟨(\mathrm{\nabla }f)(x_0),h⟩$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Крыніцы/МатЭС
• Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).Шаблон:Ref-ru
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»