Закон Кюры

Закон Кюры — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

$M=C\cdot \frac{B}{T},$

дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ): $M$ — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца; $B$ — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах; $T$ — абсалютная тэмпература ў Кельвінах; $C$ — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі

Магнітная ўспрымальнасць парамагнетыка як функцыя тэмпературы.

Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй $\overrightarrow{\mu }$. Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

$E=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}$

Вобласці з двума станамі (спін-1/2)

Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту $\mu$, $-\mu$ і два значэння энергіі $E_0=-\mu B$ и $E_1=\mu B$. Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу $\mu$:

$⟨\mu ⟩=\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P(-\mu )=\frac{1}{Z}(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta })=\frac{2\mu }{Z}\sinh (\mu B\beta ),$

дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума $Z$ забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

$Z=\sum _{n=0,1}{e}^{-E_n\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)$

Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

$⟨\mu ⟩=\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)$

Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

$M=N⟨\mu ⟩=N\mu \tanh \left(\frac{\mu B}{kT}\right)$

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы $T$ вялікае, а $B$ мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

$\left(\frac{\mu B}{kT}\right)\ll 1$

І так як вядома, што ў выпадку $|x|\ll 1$ выконваюцца суадносіны:

$\tanh x\approx x,$

атрымліваем вынік:

$𝐌(T\to \mathrm{\infty })=\frac{N{\mu }^2}{k}\frac{𝐁}{T},$

дзе канстанта Кюры роўная $C=N{\mu }^2/k$. Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў, $M$ і $N\mu$ маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

Агульны выпадак

У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.Шаблон:Lang-en). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі

Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

дзе $\theta$ — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты $z$. Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

$Z=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta ).$

Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла $\varphi$, і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай $y=\cos \theta$$y=\cos \theta$, што дазваляе атрымаць:

$Z=2\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}dy\exp (\mu B\beta y)=2\pi \frac{\exp (\mu B\beta )-\exp (-\mu B\beta )}{\mu B\beta }=\frac{4\pi \sinh (\mu B\beta )}{\mu B\beta .}$

Матэматычнае чаканне кампаненты $z$ будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па $\varphi$:

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{Z}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta )[\mu \cos \theta ].$

Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай $Z$:

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{ZB}{\partial }_{\beta }Z,$

што дае:

$⟨{\mu }_z⟩=\mu L(\mu B\beta ),$

дзе $L$ носіць назву функцыі Ланжавэна:

$L(x)=\coth x-\frac{1}{x}.$

Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў $x$, але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу $L(x)\approx x/3$, што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

Прымяненне

Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

Гл. таксама

• Закон Кюры — Вейса
• Парамагнетызм
• П’ер Кюры

Спасылкі

• Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
• Шаблон:З