Матрыцы Паўлі

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),$

${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

Замест ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ часам выкарыстоўваюць пазначэнне ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z.$

Часта таксама ўжываюць матрыцу

${\sigma }_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай ${\sigma }_0$ ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці

Асноўныя суадносіны

• Эрмітавасць: ${\sigma }_i^{†}={\sigma }_i;$
• Роўнасць нулю следу: $\mathrm{Tr}({\sigma }_i)=0,i=1,2,3$
• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2={\sigma }_0=I,$ дзе $I={\sigma }_0$ — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
• Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
• алгебра, народжаная элементамі ${\sigma }_0,-i{\sigma }_x,-i{\sigma }_y,-i{\sigma }_z$, ізаморфныя алгебры кватерніёнаў $⟨1,i,j,k⟩$.

Правілы множання матрыц Паўлі

${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3,$

${\sigma }_3{\sigma }_1=i{\sigma }_2,$

${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1,$

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_i$ для $i\ne j.$

Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

${\sigma }_i{\sigma }_j=i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k+{\delta }_{ij}\cdot {\sigma }_0,i,j,k=1,2,3$,

дзе ${\delta }_{ij}$ — сімвал Кронекера, а ε_ijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k,\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}\cdot {\sigma }_0.\end{array}$

Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі

Камутацыйныя суадносіны матрыц $i{\sigma }_k$ супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц $i{\sigma }_k.$ Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Літаратура

• Шаблон:Кніга