Спіс лімітаў

Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.

Агульныя правілы

Ліміт непарыўнай функцыі

Калі функцыя Шаблон:Math непарыўная ў пункце Шаблон:Math, то яе ліміт пры імкненні Шаблон:Math да Шаблон:Math роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$

Арыфметычныя правілы для лімітаў

Няхай існуюць ліміты $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ і $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$. Тады

• ліміт сумы роўны суме лімітаў

  $\underset{x\to c}{\lim }(f(x)+g(x))=L_1+L_2,$

• ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

  $\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=L_1-L_2,$

• ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

  $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

Няхай $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\ne 0.$ Тады

• ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў

  $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}.$

Няхай $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1>0.$ Тады

• ліміт ступені існуе і роўны

  $\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=L_1^{L_2}.$

Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

Правіла Лапіталя

Калі $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$ і $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0,$ і існуе ліміт дзелі іх вытворных

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$

то

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

Ліміты рацыянальных выразаў

• $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0{x}^k+a_1{x}^{k-1}+...+a_k}{b_0{x}^r+b_1{x}^{r-1}+...+b_r}=\{\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}[\frac{a_0}{b_0}]\cdot (\pm 1{)}^{(k-r)}\cdot \mathrm{\infty },& k>r,\\ \frac{a_0}{b_0},& k=r,\\ 0,& k<r.\end{array}$

«Грунтоўныя» ліміты

Словазлучэнне грунтоўныя ліміты (Шаблон:Lang-ru) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе.

• Першы грунтоўны ліміт (Шаблон:Lang-ru)

  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

• Другі грунтоўны ліміт (Шаблон:Lang-ru)

  $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

Заўвага 1. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.

Заўвага 2. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.

Трыганаметрычныя выразы

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (ax)}{bx}=\frac{a}{b}$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}=\frac{a}{b}$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}(x)}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin (x)}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{arctg}(x)}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x^2}=\frac{1}{2}$

Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы

• $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}=\alpha$

Ліміты і вядомыя матэматычныя сталыя

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}\right)}^2\cdot \frac{1}{2n+1}=\frac{\pi }{2}$ (формула Уоліса)

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}}}=\pi$

Ліміты-параўнанні функцый

У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{\alpha }}{a^n}=0,(a>1)$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln n}{n}=0$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(\ln n{)}^q}{n^{\alpha }}=0,(\alpha >0)$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a}=1,(a>0)$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$

• $\underset{x\to +0}{\lim }{x}^{\alpha }\ln x=0,(\alpha >0)$

• $\underset{x\to +0}{\lim }{x}^x=1$

Азначэнні функцый праз ліміты

Паказнікавая функцыя

Для любога камплекснага Шаблон:Math паказнікавую функцыю можна вызначыць як

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n=e^z$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{z^k}{k!}=e^z$

Гама-функцыя Ойлера

• Для любых камплексных Шаблон:Math праўдзіцца формула Ойлера-Гауса

  $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^z}{z(z+1)\dots (z+n)}$

Дзэта-функцыя Рымана

• Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры Шаблон:Math вызначаецца як ліміт

  $\zeta (z):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^z}$