Тэарэма Баеса

Шаблон:Тэорыя імавернасцей

Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Фармулёўка

Калі ${A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}}$ — поўная група падзей і ўсе $P (A_{k}) > 0$ , а $B$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^[1]Шаблон:Rp $P (A_{k} | B) = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{P (B)} = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})} .$

Доказ

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей $P (B) P (A_{k} | B) = P (A_{k} B) = P (A_{k}) P (B | A_{k}) .$

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што $P (A_{k} | B) = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{P (B)} = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})} .$

Інтэрпрэтацыя

Падзеі $A_{k}$ можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы, $B$ — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці $P (A_{k})$ — Шаблон:Нп5 (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз $A_{k}$ . Імавернасці $P (A_{k} | B)$ — Шаблон:Нп5 (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці $P (B | A_{k})$ ^[1]Шаблон:Rp.

Прыклад

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

Развязанне

Увядзём наступныя абазначэнні:

$A_{1}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
$A_{2}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
$B$ — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці $P (A_{1}) = P (A_{2}) = 1 / 2$ . З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці $P (B | A_{1}) = 1 / 10$ , $P (B | A_{2}) = 9 / 10$ . Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць $P (A_{1} | B)$ — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса: $P (A_{1} | B) = \frac{P (A_{1}) P (B | A_{1})}{P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2})} =$ $= \frac{(1 / 2) * (1 / 10)}{(1 / 2) * (1 / 10) + (1 / 2) * (9 / 10)} = 1 / 10 .$

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы: $P (A_{2} | B) = 1 - P (A_{1} | B) = 9 / 10 .$

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя $1 / 2$ , няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду Шаблон:Нп5.

Шаблон:Зноскі

Шаблон:Бібліяінфармацыя

↑ ^1,0 ^1,1 Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

[elemienty-1] 1,0 ^1,1 Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

[1]

Тэарэма Баеса

Змест

Фармулёўка

Доказ

Інтэрпрэтацыя

Прыклад

Развязанне

Навігацыя

Тэарэма Баеса

Фармулёўка

Доказ

Інтэрпрэтацыя

Прыклад

Развязанне

Навігацыя

Пошук