Формула поўнай імавернасці

Шаблон:Тэорыя імавернасцей Формула поўнай імавернасці дае магчымасць падлічыць імавернасць падзеі праз умоўныя імавернасці гэтай падзеі ў дапушчэнні некаторых гіпотэз і імавернасці гэтых гіпотэз.

Фармулёўка

Калі $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ — поўная група падзей і $P(A_j)>0$ для ўсіх $j=1,2,\dots ,n$, то для кожнай падзеі $B$ справядліва роўнасць

$$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k).$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі $A_1,A_2,\dots ,A_n$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць $P(B|A_k)$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць $B$ пры выкананні гіпотэзы $A_k$»Шаблон:Rp.

Доказ

Распішам $B$ як $$B=\mathrm{\Omega }B=(A_1+A_2+\dots +A_n)B=A_{1}B+A_{2}B+\dots +A_{n}B,$$ дзе $\mathrm{\Omega }$ — прастора элементарных падзей, а ўсе падзеі $A_{k}B$ парамі дыз’юнктныя. Дастасоўваючы ўласцівасць канечнай адытыўнасці і тэарэму множання імавернасцей, атрымліваем $$P(B)=P\left(\sum _{k=1}^n{A}_{k}B\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k).$$

Гл. таксама

• Формула поўнага матэматычнага спадзявання