Ступенны рад

Шаблон:Calculus У матэматыцы, ступенны рад (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c{)}^1$$+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

дзе a_n — каэфіцыент пры n-м ступенным члене, c — пастаянная, а x прымае значэнні каля c (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад цэнтраваны ў c). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах c раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots .$

Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам x, роўным Шаблон:Дроб. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

Прыклады

Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых n+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).

Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра c, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен $f(x)=x^2+2x+3$ можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта $c=0$:

$f(x)=3+2x+1x^2+0x^3+0x^4+\cdots$

ці ў наваколлі пункта $c=1$:

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1{)}^2$$+0(x-1{)}^3+0(x-1{)}^4+\cdots$

ці ў наваколлі любога іншага пункта c.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,$

справядлівая пры $|x|<1$, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

і сінуса

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$

справядлівыя для ўсіх рэчаісных x. Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад $x^{1/2}$, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты $a_n$ не павінны залежаць ад $x$, таму, напрыклад, выраз:

$\sin (x)x+\sin (2x)x^2+\sin (3x)x^3+\cdots$

не з'яўляецца ступенным радам.

Радыус збежнасці

Ступенны рад можа для адных значэнняў x збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады f(x) па ступенях (x-c) будуць збягацца ў пункце x = c. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае f(c) = a₀, трэба прыняць па азначэнню, што 0⁰ роўны 1.) Калі c — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік r, 0 < r ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |x − c| < r і разбягаецца пры |x − c| > r. Лік r называецца радыусам збежнасці ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\left|a_n\right|}^{-\frac{1}{n}}$

ці, што раўназначна, як $r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left|a_n\right|}^{\frac{1}{n}}.$ Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу

$r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,$

калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |x − c| < r і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {x : |x − c| < r}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.

Пры |x − c| = r у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў x, калі рад збягаецца ў x. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае c і x.

Аперацыі над ступеннымі радамі

Складанне і адыманне

Калі дзве функцыі f і g раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта c, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n$

то

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)(x-c{)}^n.$

Множанне і дзяленне

З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

$f(x)g(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)$

$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-c{)}^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-c{)}^n.$

Паслядоўнасць $m_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ вядома як згортка паслядоўнасцей $a_n$ і $b_n$.

Для дзелі маем:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n$

$f(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n)$

і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты Шаблон:Math.

Дыферэнцаванне і інтэграванне

Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-c)}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1){(x-c)}^n$

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-c)}^{n+1}}{n+1}+k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{(x-c)}^n}{n}+k.$

Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

Аналітычныя функцыі

Функцыя f, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве U мноства R ці C, называецца аналітычнаю, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта a ∈ U ёсць адкрытае наваколле V ⊆ U, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам a, які збягаецца да f(x) для любога x ∈ V.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты a_n можна вылічыць па формуле

$a_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}$

дзе $f^{(n)}(c)$ — n-я вытворная функцыі f у пункце c, і $f^{(0)}(c)=f(c)$. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі f і g дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве U, і існуе элемент c∈U, такі што f ⁽ⁿ⁾(c) = g ⁽ⁿ⁾(c) для ўсіх n ≥ 0, тады f(x) = g(x) для ўсіх x ∈ U.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці r, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі f, вызначаныя на мноствах, большых чым { x : |x − c| < r }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік r з'яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік x на акружнасці |x − c| = r, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.

Фармальныя ступенныя рады

У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.

Ступенныя рады ад некалькіх зменных

Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, ступенны рад — гэта бесканечны рад віду

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j_1,\dots ,j_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j_1,\dots ,j_n}\prod _{k=1}^n{(x_k-c_k)}^{j_k},$

дзе j = (j₁, …, j_n) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты a_(j1,…,jn) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр c = (c₁, …, c_n) і аргумент x = (x₁, …, x_n) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

$f(x)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{(x-c)}^{\alpha }.$

Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_1^n{x}_2^n$ збягаецца абсалютна на мностве $\{(x_1,x_2):|x_1{x}_2|<1\}$ паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад лагарыфмічна выпуклага мноства ў тым сэнсе, што мноства пунктаў $(\log |x_1|,\log |x_2|)$, дзе $(x_1,x_2)$ ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

Гл. таксама

• Тэарэма Тэйлара
• Рад Тэйлара
• Лінейнае прыбліжэнне

Літаратура

• Шаблон:SpringerEOM
• Шаблон:Крыніцы/БелЭн

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.