Размеркаванне Бернулі

Шаблон:Размеркаванне імавернасцей Размеркаванне Бернулі або БэрнуліШаблон:Rp — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні, якая прымае значэнне 1 з імавернасцю $p$ і значэнне 0 з імавернасцю $q=1-p$. Прыклад размеркавання Бэрнулі — падкіданне манеты, дзе выпадзенне арла можна супаставіць значэнню 1, а рэшкі — значэнню 0. У выпадку, калі манета «сумленная», імавернасці выпадзення арла і рэшкі мусяць быць роўнымі, а значыць $p=0.5$.

Размеркаванне Бэрнулі названае ў гонар швейцарскага матэматыка Якаба Бэрнулі.

Азначэнне

Выпадковая велічыня $X$ мае размеркаванне Бэрнулі (запісваецца $X\sim Bernoulli(p)$), калі выконваецца

$P(X=1)=p,$

$P(X=0)=1-p.$

Для спрашчэння натацыі часта ўводзіцца параметр $q:=1-p.$

Функцыя імавернасці мае выгляд

$p_{X\sim Bernoulli(p)}(k)=\{\begin{array}{cc}p& k=1,\\ 1-p& k=0.\end{array}$

Таксама можна запісаць

$p_{X\sim Bernoulli(p)}(k)=p^k(1-p{)}^{1-k}k\in \{0,1\}$

або

$p_{X\sim Bernoulli(p)}(k)=pk+(1-p)(1-k)k\in \{0,1\}.$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні, якая мае размеркаванне Бэрнулі, роўнаеШаблон:Rp

$𝔼[X]=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p.$

Дысперсія роўнаяШаблон:Rp

$Var(X)=𝔼[X^2]-𝔼[X{]}^2=1^2\cdot p+0^2\cdot (1-p)-p^2=p\cdot (1-p)=pq.$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Біномнае размеркаванне

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для $n=1$Шаблон:Rp. Іншымі словамі, велічыня $X\sim Bernoulli(p)$ мае такое ж размеркаванне, як і велічыня $X\sim B(1,p).$