Раўнамернае непарыўнае размеркаванне

Раўнамернае непарыўнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, характэрнае для выпадковай велічыні, якая прымае значэнні на некаторым Шаблон:Нп5 $[a,b]$, і шчыльнасць імавернасці якой нязменная на ўсім гэтым прамежку. Для раўнамерна размеркаванай выпадковай велічыні, імавернасці якіх-кольвек двух прамежкаў у $[a,b]$ роўныя тады і толькі тады, калі яны маюць роўную даўжыню.

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выглядШаблон:Rp

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b,\\ 0,& x<a,x>b.\end{array}$

Значэнні $f(x)$ у межавых пунктах $a$ і $b$ звычайна няважныя, бо яны не ўплываюць ні на значэнне ${\int }_c^{d}f(x)dx$ па якім-кольвек прамежку $[c,d],$ ні на ${\int }_a^{b}xf(x)dx,$ ні на вышэйшыя моманты. Часам іх прымаюць роўнымі 0, а часам $\frac{1}{b-a}.$

Плошча пад графікам шчыльнасці заўсёды роўная 1, таму графік шчыльнасці раўнамернага непарыўнага размеркавання рысуюць у выглядзе прамавугольніка з даўжынёй $b-a$ і вышынёй $\frac{1}{b-a}$. Калі даўжыня прамежку павялічваецца, вышыня памяншаецца.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання раўнамернага непарыўнага размеркавання мае выглядШаблон:Rp

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<a,\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b,\\ 1,& x>b.\end{array}$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне раўнамернага непарыўнага размеркаванне мае выглядШаблон:Rp

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\frac{1}{b-a}dx=$

$=\frac{1}{b-a}\frac{x^2}{2}{|}_a^b=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}.$

Дысперсія

Дысперсію раўнамернага непарыўнага размеркавання можна знайсці па формулеШаблон:Rp

$Var(X)=𝔼[X^2]-(𝔼[X]{)}^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^2\frac{1}{b-a}dx-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=$

$=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{b^2+ab+a^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$

Выкарыстанне

• Геаметрычная імавернасць — Шаблон:Нп5 для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.
• Прыбліжэнне ліку π метадам Монтэ-Карла праз генерацыю пары раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь.
• Метад ацэнкі ліку Эйлера шляхам генерацыі шэрагу раўнамерна размеркаваных выпадковых велічынь пакуль іх сума не перавысіць 1.