Імавернасная ўтваральная функцыя

Імавернасная ўтваральная функцыя — адлюстраванне ў выглядзе ступеннага раду функцыі імавернасці выпадковай велічыні з дыскрэтным размеркаваннем.

Азначэнне

Няхай выпадковая велічыня $\xi$ прымае неадмоўныя значэнні 0, 1, 2, $\dots$ з імавернасцямі $p_0$, $p_1$, $p_2$, $\dots$ адпаведна. Імавернаснай утваральнай функцыяй выпадковай велічыні $\xi$ завецца функцыя

${\phi }_{\xi }(s)=𝔼[s^{\xi }]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n{s}^n.$

Уласцівасці

З уласцівасцей імавернасці вынікае той факт, што ${\phi }_{\xi }(s)>0$, калі $s\in (0,1]$ і ${\phi }_{\xi }(1)=1$.

Ведаючы толькі ўтваральную функцыю, можна адназначна атрымаць закон размеркавання, якому яна адпавядае, бо $p_n={\phi }_{\xi }^{(n)}(0)/n!,$ дзе ${\phi }_{\xi }^{(n)}(0)$ — вытворная парадку $n$ утваральнай функцыі ў пункце 0. Такім чынам, паміж функцыямі імавернасці і імавернаснымі ўтваральнымі функцыямі існуе біекцыя.

Прыклады

Біномнае размеркаванне

Біномнае размеркаванне мае ўтваральную функцыю

${\phi }_{\xi }(s)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}{s}^k=(ps+q{)}^n.$

Размеркаванне Пуасона

Утваральная функцыя размеркавання Пуасона роўная

${\phi }_{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }{s}^k=e^{-\lambda }{e}^{\lambda s}=e^{\lambda (s-1)}.$

Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне $P(\xi =k)=p{q}^k,k=0,1,2,\dots$ мае ўтваральную функцыю

${\phi }_{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p{q}^k{s}^k=\frac{p}{1-qs}.$

Раўнамернае размеркаванне

Раўнамернае размеркаванне для цэлых лікаў ад 0 да $N-1$ мае ўтваральную функцыю

${\phi }_{\xi }(s)=\sum _{k=0}^{N-1}\frac{s^k}{N}=\frac{1}{N}\frac{1-s^N}{1-s}.$

Літаратура

• Шаблон:Кніга