Гама-размеркаванне

Гама-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей з двума параметрамі. Найчасцей ужываюцца два эквівалентныя спосабы параметрызацыі:

1. З Шаблон:Нп5 $k$ і Шаблон:Нп5 $\theta$.
2. З каэфіцыентам формы $\alpha =k$ і адваротным каэфіцыентам маштабу $\beta =1/\theta ,$ вядомым пад назвай Шаблон:Нп5.

У абедзвюх формах абодва параметры — дадатныя рэчаісныя лікі.

Параметрызацыя з $k$ і $\theta$ часта выкарыстоўваецца ў эканаметрыцы і іншых прыкладных абласцях, дзе з дапамогай гама-размеркавання мадэлююць час чакання.

Параметрызацыя праз $\alpha$ і $\beta$ распаўсюджана ў Шаблон:Нп5, дзе гама-размеркаванне грае ролю Шаблон:Нп5 для каэфіцыентаў частаты розных размеркаванняў, напрыклад $\lambda$ паказнікавага або пуасонавага размеркавання, або $\beta$ самога гама-размеркавання. Цесна звязанае з ім Шаблон:Нп5 служыць спалучаным апрыёрным размеркаваннем для каэфіцыентаў маштабу, напрыклад для ${\sigma }^2$ нармальнага размеркавання.

Азначэнне

Кажуць, што выпадковая велічыня мае гама-размеркаванне, калі яе шчыльнасць імавернасці задаецца формулайШаблон:Rp

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$

дзе $\alpha$, $\beta$ — параметры размеркавання, $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ — гама-функцыя $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt.$

Можна паказаць, што інтэграл шчыльнасці імавернасці па ўсім $ℝ$ роўны 1:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx=$

$=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{\alpha -1}}{{\beta }^{\alpha -1}}{e}^{-t}\frac{dt}{\beta }=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt=1.$

Асобныя выпадкі

Паказнікавае размеркаванне

Паказнікавае размеркаванне — асобны выпадак гама-размеркавання, калі каэфіцыент формы роўны 1Шаблон:Rp. Яго шчыльнасць мае выгляд:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\beta }^1}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^{1-1}{e}^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$

Размеркаванне Эрланга

Калі каэфіцыент формы гама-размеркавання — натуральны лік, то яно завецца размеркаваннем ЭрлангаШаблон:Rp. Шчыльнасць можна перапісаць, замяніўшы гама-функцыю на фактарыял, бо для натуральных лікаў $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\beta }^n}{(n-1)!}{x}^{n-1}{e}^{-\beta x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$

Размеркаванне хі-квадрат

Калі для гама-размеркавання прыняць каэфіцыент формы $\alpha =n/2$, дзе $n\in \mathbb{N}$, а каэфіцыент частаты $\beta =1/2$, атрымаем размеркаванне хі-квадрат з $n$ Шаблон:Нп5 і шчыльнасцюШаблон:Rp

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{n/2}\mathrm{\Gamma }(n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$