Формулы Віета

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

Фармулёўка

Калі $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — карані мнагачлена

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_n,$

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты $a_1,\dots ,a_n$ выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

$\begin{array}{ccc}{a}_1& =& -(c_1+c_2+\dots +c_n),\\ a_2& =& c_1{c}_2+c_1{c}_3+\dots +c_1{c}_n+c_2{c}_3+\dots +c_{n-1}{c}_n,\\ a_3& =& -(c_1{c}_2{c}_3+c_1{c}_2{c}_4+\dots +c_{n-2}{c}_{n-1}{c}_n),\\ & & \dots \\ a_{n-1}& =& (-1{)}^{n-1}(c_1{c}_2\dots c_{n-1}+c_1{c}_2\dots c_{n-2}{c}_n+\dots +c_2{c}_3...c_n),\\ a_n& =& (-1{)}^n{c}_1{c}_2\dots c_n.\end{array}$

Інакш кажучы, $(-1{)}^k{a}_k$ роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з $k$ каранёў:

$a_k=(-1{)}^k\sum _{1\le i_1\le \dots \le i_k\le n}{c}_{i_1}\dots c_{i_k}.$

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена $a_0\ne 1$, то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на $a_0$ (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы, $a_0=1$

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_n=(x-c_1)(x-c_2)\cdots (x-c_n).$

Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях $x$ (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

Прыклады

Квадратнае ўраўненне

Калі $x_1$ і $x_2$ — карані квадратнага ўраўнення $a{x}^2+bx+c=0$ ,то

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a},\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}$

У асобным выпадку, калі $a=1$ (прыведзеная форма $x^2+px+q=0$), то

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-p,\\ x_1{x}_2=q.\end{array}$

Кубічнае ўраўненне

Калі $x_1,x_2,x_3$ — карані кубічнага ўраўнення $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,$ то

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.\end{array}$

Гл. таксама

• Тэарэма Безу
• Асноўная тэарэма алгебры