Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую Шаблон:Нп5, часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне

Вызначым спачатку $𝒜$-Шаблон:Нп5 функцыю. Функцыя $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ называецца $𝒜$-вымернай для некаторай σ-алгебры $𝒜$, калі для кожнага $x\in ℝ$ выконваецца $$f^{-1}((-\mathrm{\infty },x)):=\{\omega \in \mathrm{\Omega }|f(\omega )<x\}\in 𝒜$$

Выпадковай велічынёй называецца $𝒜$-вымерная функцыя $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей $\mathrm{\Omega }$ імавернаснай прасторы $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$Шаблон:Rp.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага Шаблон:Нп5 $B\subset ℝ$ праўдзіцца ${\xi }^{-1}(B)\in 𝒜$. Аналагічным чынам замест $(\xi <x)$ у азначэнні можна браць $(\xi \le x)$, $(\xi >x)$, $(\xi \ge x)$, $(x_1\le \xi \le x_2)$ і г.д.Шаблон:Rp

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіццаШаблон:Rp.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ($\xi$, $\eta$ і г.д.) або вялікія лацінскія ($X$, $Y$ і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні

Размеркаваннем выпадковай велічыні $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ называецца імавернасная мера $P_{\xi }:ℬ(ℝ)\to ℝ$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў $B\subset ℝ$ з дапамогай роўнасці $P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P({\xi }^{-1}(B)).$

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:ℝ\to ℝ$, якая вызначаецца праз роўнасць

$F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак $[a,b)$ роўная $F(b)-F(a).$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркаванняШаблон:Rp.

Класіфікацыя

Шаблон:Main Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныяШаблон:Rp.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або злічоную колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай функцыі імавернасці $p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$. Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі шчыльнасці, якая Шаблон:Нп5 роўная вытворнай ад функцыі размеркавання $f_{\xi }(x)=F{\text{'}}_{\xi }(x)$.

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

Прыклады

• Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, то бок

  $\mathbb{P}(X=x_i)=\frac{1}{n},i=1,\dots ,n.$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

$M[X]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

• Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку $[a,b]$, дзе $a<b$. Тады яе шчыльнасць мае выгляд

  $f_X(x)=\frac{1}{b-a}{\mathrm{𝟏}}_{[a,b]}(x),$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

$M[X]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}.$

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Функцыі ад выпадковых велічынь

Калі $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — выпадковая велічыня, а функцыя $\phi :\xi (\mathrm{\Omega })\to ℝ$ Шаблон:Нп5 (то бок Шаблон:Нп5 кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то кампазіцыя $\eta =\phi \circ \xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем

$P_{\eta }(B)=P_{\xi }({\phi }^{-1}(B)),$

дзе $B$ — барэлеўскае мностваШаблон:Rp.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе непарыўныя функцыі — барэлеўскія.

Фукнцыю размеркавання $\eta$ можна запісаць якШаблон:Rp

$F_{\eta }(x)=\underset{{\phi }^{-1}((-\mathrm{\infty },x))}{\int }d{F}_{\xi },$

дзе $F_{\xi }$ — функцыя размеркавання $\xi .$

Калі $\xi$ — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю $f_{\xi },$ а $\phi$ — строга манатонная і Шаблон:Нп5, то $\eta =\phi (\xi )$ будзе мець шчыльнасцьШаблон:Rp

$f_{\eta }(x)=f_{\xi }({\phi }^{-1}(x))|\left[{\phi }^{-1}\right](x)|=\frac{f_{\xi }({\phi }^{-1}(x))}{|{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))|}.$

Прыклад

Файл:Scaling exponential distribution.webm Няхай выпадковая велічыня $\xi$ мае паказнікавае размеркаванне ($\xi \sim Exp(\lambda )$) са шчыльнасцю

$f_{\xi }(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ для $x\ge 0,$

а функцыя $\phi (x)=2x.$ Тады ${\phi }^{-1}(x)=x/2,$ а $\eta =\phi (\xi )=2\xi$ — выпадковая велічыня са шчыльнасцю

$f_{\eta }(x)=f_{\xi }\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left|\left(\frac{x}{2}\right)\right|=\lambda e^{-\lambda \frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\lambda }{2}{e}^{-\frac{\lambda }{2}x},$

то бок $\eta \sim Exp(\lambda /2).$

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі $\phi$, напрыклад $\phi =x^3,$ інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад $x$.

Абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

• Вымерная функцыя $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ называецца Шаблон:Math-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай $\sigma$-алгебры на ${ℝ}^n$) або многавымернай выпадковай велічынёй.
• Вымерная функцыя $X:\mathrm{\Omega }\to {ℂ}^n$ называецца Шаблон:Math-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай $\sigma$-алгебры).
• Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

• Выпадковы працэс
• Функцыя размеркавання
• Матэматычнае спадзяванне

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

Спасылкі

• Многомерные случайные величиныШаблон:Ref-ru