Бэта-размеркаванне

Бэта-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей на прамежку [0, 1] або (0, 1) з двума параметрамі: альфа (α) і бэта (β), якія задаюць Шаблон:Нп5 размеркавання.

Бэта-размеркаванне выкарыстоўваецца ў розных навуках для мадэлявання выпадковых велічынь, абмежаваных на пэўным Шаблон:Нп5 канечнай даўжыні, напрыклад адсоткаў або прапорцый.

У Шаблон:Нп5 бэта-размеркаванне выконвае ролю Шаблон:Нп5 для размеркавання Бэрнулі, біномнага, адмоўнага біномнага і геаметрычнага размеркаванняў.

Часам называецца бэта-размеркаваннем першага тыпу, каб адрозніць яго ад бэта-размеркавання другога тыпу. Многавымернае абагульненне бэта-размеркавання завецца размеркаваннем Дзірыхле.

Азначэнне

Шчыльнасць імавернасці

Анімацыя шчыльнасці бэта-размеркавання для розных значэнняў параметраў.

Шчыльнасць імавернасці бэта-размеркавання для Шаблон:Nowrap або Шаблон:Nowrap і параметраў формы α, β > 0 — ступеневая функцыя ад  x і Шаблон:Nowrap:

$\begin{array}{cc}f(x;\alpha ,\beta )& =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\cdot x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ & =\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\end{array}$

дзе Γ(z) — гама-функцыя. Бэта-функцыя $\mathrm{B}$ — Шаблон:Нп5, які забяспечвае выкананне аксіёмы нармаванасці.

Калі выпадковая велічыня X мае бэта-размеркаванне з параметрамі α і β, пішуць

$X\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$

Часам ужываюць таксама абазначэнні $X\sim ℬe(\alpha ,\beta )$ і $X\sim {\beta }_{\alpha ,\beta }$.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання мае выгляд

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta ),$

дзе $\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )$ — няпоўная бэта-функцыя, а $I_x(\alpha ,\beta )$ — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.