E (лік)

Паказана некалькі функцый выгляду Шаблон:Math з рознымі значэннямі асновы Шаблон:Math. Лік Шаблон:Math — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі Шаблон:Math у пункце Шаблон:Math раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.
Сіняя крывая: Шаблон:Math;
пункцірная крывая: Шаблон:Math;
штрыхавая крывая: Шаблон:Math.
На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт Шаблон:Math з нахілам 1, не з'яўляецца датычнай да графікаў апошніх дзвюх функцый.

Лік Шаблон:Лцн (таксама лік Эйлера або пастаянная Непера) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці

${(1+\frac{1}{n})}^n$

пры імкненні Шаблон:Math да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага рада

$e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots .$

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: Шаблон:Math — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі Шаблон:Math у пункце Шаблон:Math роўная 1. Функцыя Шаблон:Math, вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове Шаблон:Math — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку Шаблон:Math можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой Шаблон:Math, якая заключана паміж значэннямі аргумента Шаблон:Math і Шаблон:Math. Лік Шаблон:Math — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную Шаблон:Math часам называюць Эйлеравым лікам у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з Шаблон:Math — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста пастаяннай Эйлера). Лік Шаблон:Math таксама вядомы як пастаянная Непера, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма. Абазначаць лік літарай Шаблон:Math пачаў Эйлер. Лік Шаблон:Math мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, [[пі|Шаблон:Pi]] і [[уяўная адзінка|ўяўная адзінка Шаблон:Math]]. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:

$e^{i\pi }+1=0.$

Як і пастаянная Шаблон:Pi, Шаблон:Math — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік Шаблон:Math быў бы коранем.

Лікавае значэнне Шаблон:Math з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:

Шаблон:Gaps (Шаблон:OEIS).

Гісторыя

Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай Шаблон:Math. Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца Шаблон:Math):

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай Шаблон:Math. Леанард Эйлер ужыў літару Шаблон:Math для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай Шаблон:Math недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,, а першым з'яўленнем Шаблон:Math ў публікацыі была Эйлерава Mechanica (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай Шаблон:Math, абазначэнне Шаблон:Math было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

Прымяненні

Складаны працэнт

Даход ад пачатковага укладу $1000 пры 20% гадавых і пры розных частотах налічэння працэнта

Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:

Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).

Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.5² = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.25⁴ = $2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)¹² = $2.613035... Калі ёсць Шаблон:Math прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе Шаблон:Math і сума ў канцы года складзе $1.00×Шаблон:Math.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам Шаблон:Math і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне (Шаблон:Math) дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне (Шаблон:Math) дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні Шаблон:Math і ёсць лік, вядомы цяпер як Шаблон:Math; пры непарыўным налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу Шаблон:Math долей пасля Шаблон:Math гадоў дадуць у выніку Шаблон:Math долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут Шаблон:Math — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, Шаблон:Math.)

Выпрабаванні Бернуллі

Лік Шаблон:Math ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на Шаблон:Math. Ігрок робіць стаўку Шаблон:Math разоў. Тады для вялікіх Шаблон:Math (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца Шаблон:Math. Так, для Шаблон:Math гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца біномным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць Шаблон:Math разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{10^6}{k}){\left(10^{-6}\right)}^k(1-10^{-6}{)}^{10^6-k}.$

У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць (Шаблон:Math) роўная:

${(1-\frac{1}{10^6})}^{10^6}.$

Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:

$\frac{1}{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{n})}^n.$

Беспарадкі

Пастаянная Шаблон:Math ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як задача разбору шапак, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (Шаблон:Lang-fr). Вось як гучыць гэта задача:

На вечарынку запрошана Шаблон:Math гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з Шаблон:Math скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ні адна шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Калі лік гасцей Шаблон:Math імкнецца да бесканечнасці, Шаблон:Math прыбліжаецца к Шаблон:Math. Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога Шаблон:Math раўняецца ліку Шаблон:Math, акругленаму да найбліжэйшага цэлага.

Асімптотыкі

Лік Шаблон:Math натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і Шаблон:Math, і [[пі|Шаблон:Pi]]:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Адсюль можна атрымаць:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$

Лік Шаблон:Math ў аналізе

Натуральны лагарыфм у пункце Шаблон:Math, Шаблон:Math, роўны 1

Важнасць ліку Шаблон:Math ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў. Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду Шаблон:Math мае вытворную, якая задаецца як граніца:

$\frac{d}{dx}{a}^x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x{a}^h-a^x}{h}=a^x\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\right).$

Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай Шаблон:Math: яна залежыць толькі ад асновы Шаблон:Math. Калі аснова роўная Шаблон:Math, граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам Шаблон:Math вызначаецца з ураўнення:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай Шаблон:Math асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку Шаблон:Math ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку Шаблон:Math ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый. Вылічым вытворную функцыі Шаблон:Math па азначэнню, г.зн. як граніцу:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a(x)}{h}=\frac{1}{x}(\underset{u\to 0}{\lim }\frac{1}{u}{\log }_a(1+u)),$

дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка Шаблон:Math. Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы Шаблон:Math, і калі аснова — Шаблон:Math, граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,

$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}.$

У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як Шаблон:Math. Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду Шаблон:Math.

Такім чынам, лік Шаблон:Math з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі Шаблон:Math роўная Шаблон:Math, і адсюль знайсці Шаблон:Math. Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай Шаблон:Math раўняецца Шаблон:Math і адтуль знайсці Шаблон:Math. Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

Іншыя азначэнні

Плошча паміж воссю Шаблон:Math і графікам Шаблон:Math ад Шаблон:Math да Шаблон:Math роўная 1.

Лік Шаблон:Math можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку Шаблон:Math, а іменна:

1. Лік Шаблон:Math — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

$\frac{d}{dt}{e}^t=e^t.$

2. Лік Шаблон:Math — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

$\frac{d}{dt}{\log }_{e}t=\frac{1}{t}.$

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік Шаблон:Math — гэта граніца паслядоўнасці:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

Ці граніца функцыі:

$e=\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}$

4. Лік Шаблон:Math — гэта сума бесканечнага рада

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots ,$

дзе Шаблон:Math — фактарыял ліку Шаблон:Math.

5. Лік Шаблон:Math — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dt}{t}=1.$

Уласцівасці

Аналіз

Паказчыкавая функцыя Шаблон:Math мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:

$\begin{array}{cc}{e}^x& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{t}dt+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt\\ & =1+\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t}dt.\end{array}$

Ступенна-паказчыкавыя функцыі

Глабальны максімум функцыі $\sqrt[x]{x}$ дасягаецца ў пункце Шаблон:Math.

Глабальны максімум функцыі

$f(x)=\sqrt[x]{x}$

дасягаецца ў Шаблон:Math. Гэтак жа, Шаблон:Math — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

$f(x)=x^x$

вызначанай для дадатных Шаблон:Math.

Больш агульна, Шаблон:Math будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

$f(x)=x^{x^n}$

для любога Шаблон:Math.

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

$x^{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ або ^∞$x$

збягаецца, калі і толькі калі Шаблон:Math (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

Тэорыя лікаў

Лік Шаблон:Math ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама [[Доказ ірацыянальнасці e|доказ ірацыянальнасці ліку Шаблон:Math]], які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса Шаблон:Math — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку Шаблон:Math даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік Шаблон:Math нармальны, г.зн. калі запісаць лік Шаблон:Math ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

Камплексныя лікі

Паказчыкавую функцыю Шаблон:Math можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі Шаблон:Math, нават калі Шаблон:Math прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне Шаблон:Math на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

справядлівую для ўсіх Шаблон:Math. Асобны выпадак пры Шаблон:Math — тоеснасць Эйлера:

$e^{i\pi }=-1,$

з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,

${\log }_e(-1)=i\pi .$

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць

$(\cos x+i\sin x{)}^n={\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx),$

якая называецца формулай Муаўра.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Функцыя агульнага выгляду

$y(x)=C{e}^x$

ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

$y^{\prime }=y.$

Прадстаўленні

Лік Шаблон:Math можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$

ці як суму рада

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!},$

якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для Шаблон:Math у Шаблон:Math.

Менш вядома прадстаўленне ліку Шаблон:Math непарыўным дробам (Шаблон:OEIS), якое атрымаў Леанард Эйлер:

$e=[2;1,\mathrm{𝟐},1,1,\mathrm{𝟒},1,1,\mathrm{𝟔},1,1,...,\mathrm{𝟐}𝐧,1,1,...]=[1;\mathrm{𝟎},1,1,\mathrm{𝟐},1,1,\mathrm{𝟒},1,1,...,\mathrm{𝟐}𝐧,1,1,...],$

што ў звычайным запісе выглядае як:

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟐}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟒}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}=1+\frac{1}{\mathrm{𝟎}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟐}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟒}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}}}.$

А гэты ланцуговы дроб Шаблон:Math збягаецца ў тры разы хутчэй:

$e=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,\dots ,4(4n-1),(4n+1),\dots ],$

або ў разгорнутым запісе:

$e=1+\frac{2}{1+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{18+\frac{1}{22+\frac{1}{26+\ddots }}}}}}}.$

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку Шаблон:Math ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

Стахастычныя прадстаўленні

Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку Шаблон:Math, ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку Шаблон:Math. Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь Шаблон:Math, Шаблон:Math..., кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай Шаблон:Math — найменшы лік Шаблон:Math, для якога сума першых Шаблон:Math членаў паслядоўнасці большая за 1:

$V=\min \{n\mid X_1+X_2+\cdots +X_n>1\}.$

Тады матэматычнае спадзяванне велічыні Шаблон:Math раўняецца Шаблон:Math:

$𝔼[V]=e.$

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў

За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку Шаблон:Math рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку Шаблон:Math

Дата	Колькасць лічбаў	Аўтар разлікаў
1748	23	Леанард Эйлер
1853	137	Уільям Шэнкс (Шаблон:Lang-en)
1871	205	Уільям Шэнкс
1884	346	Дж. Маркус Бурмэн (Шаблон:Lang-en)
1949	2,010	Джон фон Нейман (на ЭНІАКу)
1961	100,265	Daniel Shanks & John Wrench
1978	116,000	Стыў Возняк (на Apple II)
1994 (1 красавіка)	1,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1999 (21 лістапада)	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000 (16 ліпеня)	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2003 (18 верасня)	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007 (27 красавіка)	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009 (6 траўня)	200,000,000,000	Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo
2010 (5 ліпеня)	1,000,000,000,000	Shigeru Kondo & Alexander J. Yee

У камп'ютарнай культуры

У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку Шаблон:Math.

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку Шаблон:Math. Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты, якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана

{first 10-digit prime found in consecutive digits of Шаблон:Math}.com

Па-беларуску гэта гучала б як:

{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку Шаблон:Math}.com

Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме. Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе Шаблон:Math — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку Шаблон:Math. Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку Шаблон:Pi: 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Артыкул

Спасылкі

• Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік Шаблон:Math для нематэматыкаў Шаблон:Ref-en
• Лік Шаблон:Math з дакладнасцю 1, 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі Шаблон:Ref-en
• Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных, 13 студзеня 2008 Шаблон:Ref-en
• «Гісторыя ліку Шаблон:Math» Шаблон:Ref-en
• Пошукавая прылада для ліку Шаблон:Math (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў Шаблон:Math, Шаблон:Pi і √2) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en
• Шаблон:MathWorld Шаблон:Ref-en