Размеркаванне імавернасцей

Размеркава́нне імаве́рнасцей — закон, які ставіць у адпаведнасць кожнаму інтэрвалу значэнняў імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні патрапіць у гэты інтэрвал.

Размеркаванне імавернасцей — асобны выпадак больш агульнага паняцця Шаблон:Нп5: функцыі, якая ставіць у адпаведнасць вымерным мноствам з вымернай прасторы імавернасці згодна з аксіёмамі Калмагорава.

Азначэнне

Размеркаваннем выпадковай велічыні $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ называецца імавернасная мера $P_{\xi }:ℬ(ℝ)\to ℝ$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх Шаблон:Нп5 $B\subset ℝ$ з дапамогай роўнасціШаблон:Rp $P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P({\xi }^{-1}(B)).$

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Функцыя размеркавання

Шаблон:Main Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:ℝ\to ℝ$, якая вызначаецца праз роўнасць $F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркаванняШаблон:Rp.

Класіфікацыя размеркаванняў

Размеркаванні імавернасцей падзяляюцца паводле характарыстык іх функцый размеркавання на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныяШаблон:Rp.

Дыскрэтнае размеркаванне

Прыклад функцыі імавернасці і функцыі размеркавання для дыскрэтнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца дыскрэтным, калі яна прымае канечную або злічоную колькасць значэнняў.

Для дыскрэтнага размеркавання існуе так званая функцыя імавернасці $p_{\xi }$, якая ставіць у адпаведнасць кожнаму значэнню $x\in ℝ$ імавернасць таго, што выпадковая велічыня $\xi$ прыме гэтае значэнне: $$p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$$

Калі колькасць значэнняў невялікая, дыскрэтнае размеркаванне можна задаць з дапамогай табліцы

Значэнні $\xi$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$	$\dots$
$P(\xi =x_k)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$	$\dots$

, дзе $p_k>0$ і $\sum _k{p}_k=1$.

Функцыя размеркавання мае выгляд $F_{\xi }(x)=P(\xi <x)=\sum _{k:x_k<x}{p}_k$.

Прыклады дыскрэтных размеркаванняў:

• Звыроднае размеркаванне
• Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне
• Размеркаванне Бэрнулі
• Біномнае размеркаванне
• Размеркаванне Пуасона
• Геаметрычнае размеркаванне
• Адмоўнае біномнае размеркаванне
• Гіпергеаметрычнае размеркаванне

Абсалютна непарыўнае размеркаванне

Прыклад шчыльнасці імавернасці і функцыі размеркавання для абсалютна непарыўнага размеркавання

Размеркаванне выпадковай велічыні завецца абсалютна непарыўным, калі існуе неадмоўная функцыя $f_{\xi }:ℝ\to ℝ$, для якой $\underset{ℝ}{\int }{f}_{\xi }(t)dt=1$ і для кожнага барэлеўскага мноства $B\in ℝ$ праўдзіцца $P(\xi \in B)=\underset{B}{\int }{f}_{\xi }(t)dt$. Такая функцыя $f_{\xi }$ завецца шчыльнасцю імавернасці выпадковай велічыні $\xi$.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання мае выгляд $F_{\xi }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_{\xi }(t)dt$. Пры гэтым Шаблон:Нп5 мае месца роўнасць ${F_{\xi }}^{\prime }(x)=f_{\xi }(x)$, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання.

Прыклады абсалютна непарыўных размеркаванняў:

• Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
• Нармальнае размеркаванне
• Гама-размеркаванне
• Размеркаванне Эрланга
• Размеркаванне Кашы

Сінгулярнае размеркаванне

Прыклад сінгулярнай функцыі размеркавання — фукнцыя Кантара або «кантарава лесвіца»

Сінгулярным называецца размеркаванне, функцыя размеркавання $F$ якога непарыўная, але яе пункты росту маюць Шаблон:Нп5 нуль. Такім чынам, вытворная функцыі $F$ амаль усюды роўная нулю. Прыклад такой функцыі — Шаблон:Нп5.

Змешанае размеркаванне

Змешанымі завуцца размеркаванні, якія не адносяцца ні да дыскрэтных, ні да непарыўных, ні да сінгулярных размеркаванняў. Іх функцыі размеркавання заўсёды можна прадставіць як Шаблон:Нп5 дыскрэтнай, непарыўнай і сінгулярнай функцыі размеркаванняШаблон:Rp:

$$F(x)=a_1{F}_1(x)+a_2{F}_2(x)+a_3{F}_3(x),$$ дзе $a_1,a_2,a_3\in [0,1]$, $a_1+a_2+a_3=1$, $F_1$ — дыскрэтная, $F_2$ — абсалютна непарыўная, $F_3$ — сінгулярная функцыі размеркавання.

Гл. таксама

• Сінгулярнае размеркаванне
• Умоўнае размеркаванне імавернасцей

Літаратура

• Размеркаванне імавернасцей // Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 261.